齿轮在机测量中偏心对齿距偏差的影响分析

一、齿轮在机测量技术

在两*化的齿轮测量即*小模数及*小直径的微型齿轮的测量和超大模数及超大直径的大型齿轮的测量技术中，在机测量技术相对于其他测量技术而言，是一种比较完善的测量技术。所谓在机测量技术，是指依托现有的齿轮加工机床，应用加工机床的支撑结构、运动传递等功能，借助加工机床附件设备和配以相应的测量装置实现测量的方法。在机测量将简便的测量仪器置于齿轮加工设备之中，参与齿轮加工过程的准确度保证，操作上相对简便，而且易于实现。相对于其他测量方法而言，在机测量的准确度不高，易产生各种测量误差，测量所得到的数据必须进行实时修正。

二、齿轮偏心及齿距偏差

齿轮齿距分布不均匀而产生的以齿轮一转为周期的误差，影响齿轮传递运动的准确性，主要来源于齿轮加工过程中的运动偏心。

运动偏心是由于齿轮加工机床的不等速旋转，使得被加工齿轮沿切向方向发生变化，加工机床中分齿传动链的传动误差与上**的偏移量进行合成，产生被加工齿轮的转角误差，迫使被切齿轮的基圆作周期性的偏心运动，偏心量用<I>e</I>2表示。
在测量过程中，齿轮的回转中心轴线(即测量的基准)为齿轮加工时的回转中心轴线，而不是齿轮的几何回转中心轴线，使得被测齿轮产生安装偏心<I>e</I>3。这种偏心在在机测量中很难发现，但对齿距测量的影响*大。

齿轮偏心的存在导致齿距偏差的产生。齿距偏差按照齿与齿之间的关系可分为相邻两齿齿距偏差、任意齿齿距偏差，<I>k</I>个齿齿距累积误差、齿距累积误差。本文重点讨论相邻两齿齿距偏差和齿距累积误差。

三、偏心对齿距偏差测量的影响

1.偏心对相邻两齿齿距偏差的影响

如图1所示，<I>A</I>点为测量起始点，<I>e</I>与<I>OA</I>的夹角为<I>φ</I>0。

图1

Δ<I>f</I>ptbi=±(<I>e</I>/cos<I>α</I>){sin〔<I>λ+</I>(<I>i</I>-1)Δ1〕-sin(<I>λ</I>+<I>i</I>Δ1)}=+(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔<I>λ</I>+Δ1/2+(<I>i</I>-1)Δ1〕sin(Δ1/2)(<I>i</I>=1，2，3，……，<I>z</I>) (1)

Δ<I>f</I>ptci=±(2<I>e</I>/cos<I>α</I>){sin〔<I>φ</I>0±<I>α</I>±Δ2±(<I>i</I>-1)Δ1〕-sin(<I>φ</I>0±<I>α</I>±Δ2±<I>i</I>Δ1)}=-(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔<I>φ</I>0±<I>α</I>±Δ2±(Δ2/2)±(<I>i</I>-1)Δ1〕·sin(Δ1/2)}(<I>i</I>=1，2，3，……，<I>z</I>) (2)

式中:左齿面:<I>λ</I>=<I>φ</I>0+<I>α</I>+Δ2；右齿面:<I>λ</I>=<I>φ</I>0-<I>α</I>+3Δ2；Δ1=360°/<I>z</I>，Δ2=90°/<I>z</I>；<I>e</I>——安装偏心<I>e</I>3的相角；<I>α</I>——压力角；<I>z</I>——齿轮齿数。

2.偏心对齿距累积误差的影响

Δ<I>F</I>pbi=∑Δ<I>f</I>ptbi=-(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔<I>λ</I>+(<I>i</I>Δ1/2)〕sin(<I>i</I>Δ1/2)=-(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔<I>φ</I>0+<I>α</I>+Δ2+(<I>i</I>Δ1/2)〕sin(<I>i</I>Δ1/2) (3)

Δ<I>F</I>pci=∑Δ<I>f</I>ptci=-(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔<I>φ</I>0±<I>α</I>±Δ2+(<I>i</I>Δ1/2)〕·sin(<I>i</I>Δ1/2) (4)

上述关系见《大型齿轮在机测量中安装偏心的测定及补偿》(《机构传动》2003-2，单光坤、李文龙、郑鹏等)、《几何偏心与齿距误差关系分析》(《机构设计与制造》1997-4，许秀辉、李文龙、赵清等)。公式符号±:+上面表示左齿面，-下面表示右齿面。

四、偏心对齿轮齿距测量的补偿模型

安装偏心的补偿

Δ<I>f</I>pi=Δ<I>f</I>ptci+Δ<I>f</I>ptci

式中:Δ<I>f</I>ptci——数据补偿前相邻两齿齿距偏差的实测值。

齿距累积误差值为Δ<I>F</I>pi=∑Δ<I>f</I>pi(<I>i</I>=1，2，3，……，<I>z</I>)

数据补偿后的齿距累积总误差为

Δ<I>F</I>pi=max(Δ<I>F</I>pi)-min(Δ<I>F</I>pi) (5)

五、齿距偏差测量误差分析

1.影响齿距偏差的测量因素

齿轮在机测量的过程中，由偏心而引入的误差主要有测角的误差、测头示值误差、测头径向的位置误差、偏心幅值的测量误差和偏心相角的误差等。其中后两项对齿距误差影响较为显著。

2.齿距偏差测量的误差分析

(1)偏心的影响

设实际偏心量(幅值)为<I>e</I>，通过某种测量方法得到偏心量<I>e</I>′，偏心幅值的测量误差为Δ<I>e</I>(Δ<I>e</I>=<I>e</I>′-<I>e</I>)。

令<I>A</I>=<I>φ</I>0+<I>α</I>+Δ2、<I>B</I>=(<I>i</I>Δ/2)，则实际偏心量引起的齿距累积总误差为

Δ<I>F</I>pb=max(<I>F</I>pi)-min(<I>F</I>pi)=(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)sin〔(π/4)+(<I>A</I>/2)〕cos〔(π/4)-(<I>A</I>/2)〕

(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔(π/4)+(<I>A</I>/2)〕cos〔(π/4)-(<I>A</I>/2)〕=(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)sin(π/2)=2<I>e</I>/cos<I>α</I> (6)

由测得的偏心量引起的齿距累积总误差为Δ<I>F</I>pb′=(2<I>e</I>′)/cos<I>α</I>

由偏心量的测量误差引起的齿距累积总误差为

Δ<I>F</I>pi=Δ<I>F</I>pb′-Δ<I>F</I>pb=(2Δ<I>e</I>)/cos<I>α</I>

(2)偏心相位角的影响

设实际偏心的相位角为<I>φ</I>0，通过某种测量方法得到偏心相位角为<I>φ</I>′0，偏心相位角的测量误差为Δ<I>φ</I>0(Δ<I>φ</I>0=<I>φ</I>′0-<I>φ</I>0)。

由式(3)可知，测得的偏心引起的齿距累积误差为

Δ<I>F</I> ′pi=-(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔<I>φ</I>0+Δ<I>φ</I>0+<I>α</I>+Δ2+(<I>i</I>Δ2 /2)〕sin(<I>i</I>Δ2 /2)=-(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos(<I>A</I>+<I>B</I>+<I>φ</I>0)sin<I>B</I> (7)

由测得的偏心相位角测量误差引起的齿距累积总误差为

Δ<I>F</I>′pb=(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)sin〔(π/4)+(<I>A</I>/2)+Δ<I>φ</I>0〕cos〔(π/4)-<I>A</I>/2)〕+(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos〔(π/4)+(<I>A</I>/2)+Δ<I>φ</I>0〕·sin〔(<I>π</I>/4)-(<I>A</I>/2)〕=(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)sin〔(π/2)+Δ<I>φ</I>0〕=(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)cos(Δ<I>φ</I>0) (8)

由式(6)、式(8)可知:

<I>F</I>′p<I>φ</I>=Δ<I>F</I>′pb-Δ<I>F</I>pb=(2<I>e</I>/cos<I>α</I>)(cos<I>φ</I>0-1)

齿轮齿距偏差的在机测量过程中，由于偏心的存在，势必会影响到测量结果的准确性。因此，在测量的过程中，要注意偏心的实时修正，使测量结果中由于偏心产生的误差减至*低点，同时也保证了齿轮的准确度要求。